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Axioma.

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Un axioma es una premisa que se considera «evidente» y es aceptada sin requerir una demostración previa. En un sistema hipotético-deductivo, es toda proposición que no se deduce de otras, sino que constituye una regla general de pensamiento lógico, por oposición a los postulados.¹

En matemática, un axioma es una premisa que, por considerarse evidente, se acepta sin demostración, como punto de partida para demostrar otras fórmulas. Tradicionalmente, los axiomas se eligen de entre las consideradas «verdades evidentes» porque permiten deducir las demás fórmulas.

En lógica matemática, un postulado es un proposición, no necesariamente evidente: una fórmula bien formada de un lenguaje formal utilizada en una deducción para llegar a unaconclusión.

En matemática se distinguen dos tipos de proposiciones: axiomas lógicos y postulados.

Etimología

La palabra axioma proviene del griego ??????, que significa "lo que parece justo" o aquello que es considerado evidente y sin necesidad de demostración. La palabra viene del griego ??????? (axioein) que significa "valorar", que a su vez procede de ????? (axios) que significa "valuable" o "digno". Entre los antiguos filósofos griegos, un axioma era aquello que parecía ser verdadero sin ninguna necesidad de prueba.

Lógica

La lógica del axioma es partir de una premisa calificada verdadera por sí misma (el axioma) e inferir sobre ésta, otras proposiciones por medio del método deductivo, obteniendo conclusiones coherentes con el axioma. Los axiomas han de cumplir sólo un requisito: de ellos, y de reglas de inferencia, han de deducirse todas las demás proposiciones de una teoría dada.

Axiomas

Los axiomas son ciertas fórmulas en un lenguaje que son universalmente válidas, esto es, fórmulas que son satisfechas por cualquier estructura y por cualquier función variable. En términos coloquiales, son enunciados que son verdaderos en cualquier mundo posible, bajo cualquier interpretación posible y con cualquier asignación de valores. Usualmente se toma como axiomas un conjunto mínimo de tautologías que son suficientes para probar una teoría.

[editar]Ejemplo

En el cálculo proposicional es común tomar como axiomas lógicos todas las fórmulas siguientes, donde $\phi \,$ , $\psi \,$ , y $\chi \,$ pueden ser cualquier fórmula en el lenguaje:

$\phi \to (\psi \to \phi) \,$
$(\phi \to (\psi \to \chi)) \to ((\phi \to \psi) \to (\phi \to \chi)) \,$
$(\lnot \phi \to \lnot \psi) \to (\psi \to \phi)$

Cada uno de estos patrones es un esquema de axiomas, una regla para generar un número infinito de axiomas. Por ejemplo, si p, q, y r son variables proposicionales, entonces $p \to (q \to r) \,$ y $(p \to \neg q) \to (r \to (p \to \neg q)) \,$ son instancias del esquema 1 y por lo tanto son axiomas. Puede probarse que con solamente estos tres esquemas de axiomas y la regla de inferencia modus ponens, alguien puede probar todas las tautologías del cálculo proposicional, también puede probarse que ningún par de estos esquemas es suficiente para probar todas las tautologías utilizando modus ponens. Este conjunto de esquemas axiomáticos también es utilizado en el cálculo de predicados pero son necesarios más axiomas lógicos.

Ejemplo: Sea $\mathfrak{L}\,$ un lenguaje de primer orden. Para cada variable $x\,$ , la fórmula $x = x\,$ es universalmente valida.

Esto significa que, para cualquier símbolo variable $x\,$ , la fórmula $x = x\,$ puede considerarse un axioma. Para no caer en la vaguedad o en una serie infinita de "nociones primitivas", primeramente se necesita ya sea una idea de lo que queremos decir con $x = x\,$ o definir un uso puramente formal y sintáctico del símbolo $=\,$ , y de hecho, la lógica matemática lo hace.

Ejemplo: Otro ejemplo interesante, es el de la instanciación universal. Para una fórmula $\phi\,$ en un lenguaje de primer orden $\mathfrak{L}\,$ , una variable $x\,$ y un término $t\,$ que es sustituible por $x\,$ en $\phi\,$ , la fórmula $\forall x. \phi \to \phi^x_t$ es válida universalmente.

En términos informales, este ejemplo nos permite afirmar que si conocemos que una cierta propiedad $P\,$ se cumple para toda $x\,$ y que si $t\,$ es un objeto particular en nuestra estructura, entonces deberíamos ser capaces de afirmar $P(t)\,$ . De nuevo, estamos afirmando que la fórmula $\forall x. \phi\ \to \phi^x_t$ es válida, esto es, debemos ser capaces de dar una prueba de este hecho, o mejor dicho, una metaprueba. De hecho, estos ejemplos son metateoremas de nuestra teoría de la lógica matemática ya que nos referimos meramente al concepto de demostración en sí. Además de esto, también podemos tener una generalización existencial:

Esquema axiomático: Para una fórmula $\phi\,$ en un lenguaje de primer orden $\mathfrak{L}\,$ , una variable $x\,$ y un término $t\,$ que es sustituible por $x\,$ en $\phi\,$ , la $\phi^x_t \to \exists x. \phi$ es universalmente válida.

Limitaciones de los sistemas axiomáticos

Kurt Gödel demostró a mediados del siglo XX que los sistemas axiomáticos de cierta complejidad, por definidos y consistentes que sean, poseen serias limitaciones. En todo sistema de una cierta complejidad, siempre habrá una proposición P que sea verdadera, pero no demostrable. De hecho, Gödel prueba que, en cualquier sistema formal que incluya la aritmética, puede formarse una proposición P que afirme queeste enunciado no es demostrable.

axiomas + matematica + limites axiomaticos

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Fecha: 03/08/2011 10:05

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Autor: Anónimo

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